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这些问题，工程上有自己的提法，翻译成数学语言表达以后相对比较明确。 历史上来看，这些问题在共形几何中都有比较完美的理论解答。 这些信息非常容易获得，但处理起来非常困难。 这是我的一个学生，我把他的三维脸部曲面扫描下来，可以分析他的表情，做动态的跟踪。 这里的困难在于，第一个如何把实际问题看透，翻译成数学语言；第二个如何把数学理论看透，翻译成计算机语言。 对于传统方法而言，人脸图像年龄变换是难以完成的任务。 用深度学习的流形框架，我们可以给出清晰的解决方案。 这显示了用深度学习方法去噪的某种局限性，首先我们必须拥有相应的流形，其次不同类型的图像，需要不同的流形。 这种局限诠释了深度学习仍属于弱人工智能范畴。 我们是从2000年开始做的，主要因为这时开始三维数据变得非常多，一方面三维扫描技术有大幅度发展，人们可以很轻易地得到三维曲面；医学图像的发展也非常快，我们可以得到大量的医学图像。 从历史上来说，共形几何是多个领域的交叉点。 一张人脸照片主要取决于如下条件：人脸的几何形状，皮肤的纹理特征和施加的化妆品，动态表情，光照条件，相机的内外参数等，人脸几何形状由几十条基因所决定。 由此，我们有理由认为所有人脸图像分布在某个低维流形S附近。 当然，由于随机噪音的存在，我们只能说所有人脸图像分布在S附近，而非精确地落在S上。 我们的实验表明，人脸图像流形的隐空间F大概有100维左右。 我们已经训练好了网络，得到了流形的参数表示，一张白噪声图像就是一个局部参数（编码），其解码后的像在人脸图像的重建模型上，因而是一张人脸图像。 我们并非妙手空空，而是拥有了丰富的先验知识：所有人脸图像构成的流形，这一流形被其参数化映射所表示，而这一映射被神经网络的权重所编码。 深度学习的主要目的和功能之一就是学习编码映射和解码映射。 这张图显示的就是共形变换的第一个优点，就是降维，把三维变成二维。 另一方面，随着GPU的发展，计算能力空前高涨。 一些以前非常困难的几何偏微分方程的求解变得相对容易，在个人电脑上PC上就可以很容易地进行计算。 最简单的来说，比如给两副曲面，一张是平静的脸，一张是带表情的脸，要如何找有意义的微分同胚。 迄今为止机器学习是做不了这个的，通过微分几何倒是有很多方法，所以这个方面还在发展。 一旦我们掌握了流形在手，我们可以完成很多传统方法无法想象的应用，也可以革新很多传统方法所涉猎的经典应用。 如果流形嵌入到欧氏空间中，则欧氏空间被称为是背景空间。 关于聚类分布定律，目前有相对完善的理论基础-最优传输理论，和较为实用的算法，例如基于凸几何的蒙日-安培方程解法【2】，这些方法可以测量概率分布之间的距离，实现概率分布之间的变换【3】。 关于流形分布定律，目前理论发展不太完备，很多时候学习效果严重依赖于调参。 但是很多实际应用问题，都可以用流形的框架来建模，从而用几何的语言来描述、梳理，用几何理论工具来加以解决，进而有望从含混模糊的经验性试错，进化到思路清晰的定量研究。 这三类问题的理论根基，我们认为很大部分上仰仗共形几何。 下面我们通过几个实例来彰显流形思维框架的威力。 电子科技大学李纯明教授为ISICDM会议的发起人和程序主席，负责会议主题的确立、报告专家的邀请与会议内容的组织。 我们再看下角度的变化，在平面上放上棋盘格。 棋盘格每个角都是直角，把它拉回到三维曲面上，我们可以看到每个棋盘格的大小发生了改变，但从法方向看下去的话，每个交角都还是直角。 丘成桐先生和顾险峰博士团队，将微分几何，代数拓扑，黎曼面理论，偏微分方程与计算机科学相结合，创立跨领域学科“计算共形几何”，并广泛应用于计算机图形学，计算机视觉，几何建模，无线传感器网络，医学图像等领域。 雷锋网 AI 科技评论：在2017图像计算与数字医学国际研讨会（ISICDM）上，顾险峰教授应邀出席并做了主题为“医学图像中的几何方法”的学术报告，介绍了基于他们提出的共形几何理论的种种图像处理方法以及在医学图像中的应用实例。 在图嵌入中，构建一个本征图用于描述数据中有价值的统计或几何特征，同时构建一个惩罚图用于描述数据中需要抑制的统计或几何特征；本征图和惩罚图的构建可扩展到线性空间、核空间和张量空间。 我们也试图用机器学习的方法做其中的一些问题，发现非常困难。 基于统计的方法通过学习，揭示曲面的内在结构和曲面之间的微分同胚，效果并不好；分类的效果相对让人满意一些。 所以目前这个领域机器学习还没有大规模的介入，还是基于数学方法。 那么在现实中，我们如何学习人脸图像构成的流形呢？